Facultad de Ciencias Exactas y Naturales-UBA   AÑO 14 - NÚMERO 516   VIERNES, 29 DE OCTUBRE DE 2004

La matemática a la vanguardia tecnológica

El grupo internacional de investigación Turbo Evaluation and Rapid Algorithms (TERA), de origen argentino, tiene en su haber una innovación tecnológica elaborada desde la matemática pura y la informática teórica. El grupo desarrolló un paquete de software que sirve para generar programas de computadora fundamentales para la resolución de diversos problemas científicos y tecnológicos.

Por Verónica Engler (*)

  Un cuerpo iluminado proyecta una sombra que muestra diversas cualidades geométricas. Según de dónde provenga el foco de luz, esa sombra variará produciendo innumerables formas y la superficie de cada una de esas figuras podrá ser calculada a partir de ecuaciones específicas que den cuenta de su singularidad.

  Desde el punto de vista matemático, en un sistema formado por luz, algún objeto y la sombra proyectada, lo interesante no está tanto en la certeza que el volumen del objeto ofrece, sino más bien en las infinitas posibilidades de representación que brindan las deformaciones a las que se presta su sombra. Cada figura puede ser modelizada -representada mediante ecuaciones- y así brindar una expresión numérica distinta para una misma propiedad: la sombra del objeto. ¿Cómo decidir cuál de todas esas ecuaciones expresa de manera más eficiente a ese cuerpo? La respuesta a esta pregunta va a depender de qué se quiera hacer con esa definición algebraica. En cualquier caso, hallar la descripción óptima es una tarea de enorme complejidad.

  Aunque conocer matemáticamente el infinito sistema de sombras que podría arrojar un objeto iluminado parezca una absoluta futilidad, el interés surge a partir de la amplia gama de aplicaciones científicas y tecnológicas que requieren la resolución de este tipo de sistemas de ecuaciones llamadas «polinomiales» -que pueden llegar a tener infinitas soluciones-.

Dr. Joos Heinz.

  «Este tipo de ecuaciones, provenientes de la geometría clásica, reencontró hace treinta años un amplio interés fuera del ámbito puramente matemático porque se esperaba de su resolución efectiva una larga gama de aplicaciones en ámbitos tales como la robótica, la visión, el diseño asistido por computadoras (CAD), las telecomunicaciones, la criptografía, o aun en la descripción cualitativa de estructuras moleculares. Sin embargo, las expectativas originales quedaron muy lejos de ser cumplidas, porque los programas desarrollados inicialmente para estas aplicaciones requerían recursos exorbitantes en memoria y tiempo para su ejecución», afirma Joos Heitnz, doctor en matemáticas y profesor del Departamento de Computación de la FCEyN y de la Universidad de Cantabria (España).

  Los problemas profundos de complejidad que conllevan los cálculos en geometría motivaron en el año 1987 la creación del grupo Noaï Fitchas en el Instituto Argentino de Matemática del CONICET. Noaï Fitchas, compuesto originalmente por Heintz y cuatro tesistas (hoy profesores de esta Facultad e investigadores del CONICET) se convirtió hace diez años en el grupo internacional de investigación y desarrollo en matemática e informática Turbo Evaluation and Rapid Algorithms (TERA). Aparte del equipo argentino, integran TERA un grupo de investigadores de la École Polytechnique (París, Francia), dirigido por Marc Giusti, otro de la Universidad Humboldt (Berlín, Alemania) a cargo de Bernd Bank, y otro de la Universidad de Cantabria, dirigido por Luis Miguel Pardo y Heintz.

  Lo que destaca fundamentalmente a TERA, aparte del valor académico de sus investigaciones plasmadas en numerosas publicaciones internacionales, es su empeño fundamental en el desarrollo de una herramienta tecnológica elaborada desde la matemática pura y la informática teórica. La innovación en cuestión es el paquete de software Kronecker, que sirve para generar algoritmos con el fin de resolver sistemas de ecuaciones polinomiales en vista a las aplicaciones.

  En la Argentina es difícil encontrar resultados de este tipo desde la matemática teórica, pero Heintz relativiza el trabajo que viene realizando desde hace dos décadas: «(El profesor de la UBA ya fallecido y Premio Príncipe de Asturias) Luis Santaló llevó a cabo investigaciones fundamentales en geometría probabilística y métrica, que influyeron profundamente el desarrollo de la estereología a partir de los años sesenta». La estereología es un campo interdisciplinario que une a la matemática con las ciencias biomédicas y de los materiales y tiene alto impacto en el diagnóstico por imágenes y en la microscopía. «Pero el ambiente matemático nacional no fue capaz, en su momento, de aprovechar las ideas innovadoras de Santaló -señala el investigador-, y por lo tanto Argentina es hoy en día un simple consumidor de una tecnología en cuyo desarrollo hubiera podido participar de forma destacada».

Prof. Bernard Bank.

Un herramienta versátil

  A pesar de que Heintz considera que lo investigado por TERA en el campo de las aplicaciones «está todavía en pañales», los resultados obtenidos son realmente alentadores. El profesor alemán Bernard Bank estuvo en la Argentina presentando una de las perlas obtenidas con el paquete de software Kronecker: un procedimiento para generar programas que descomprimen imágenes, algo que puede ser muy útil en TV digital, por ejemplo.

  Habitualmente cuando se comprime una imagen -como con el formato jpg, por ejemplo- lo que se hace, de alguna manera, es simplificar sus cualidades para poder guardarla en un espacio de memoria reducido, hasta que se la quiera visualizar, para lo cual es necesario descomprimirla. Tanto para estrujar virtualmente una fotografía, como para llevar a cabo la acción inversa -desplegar ese «bollo» de bits hasta hacer visible la imagen que hay en él- se necesitan algoritmos que den las indicaciones precisas para que la imagen no se arruine en el proceso de compresión, y también para que vuelva a reconstruir sus cualidades primigenias cuando se la descomprima.

  En una fotografía en blanco y negro, como la que exhibió Bank en su demostración, el software lo que hace es establecer una relación en una escala de grises, una cierta «suavidad» que permite la configuración de la imagen como una unidad (un rostro, por ejemplo) y no como una suma de puntos (pixels). «Cuando se aplica primero el filtro (para reducir el tamaño de la imagen), se tira la mitad de los pixels, se toma el segundo de cada par, por ejemplo -explica Heintz-. Entonces se puede guardar en un archivo mucho más pequeño. Pero eso no interesa si después, aplicando un software, no se puede hacer reaparecer la imagen».

  La reconstrucción de la imagen va a depender de que el software encargado de descomprimirla pueda reproducir la suavidad original. Justamente lo que permite Kronecker es generar algoritmos que se adaptan a las necesidades de diferentes sistemas de imágenes para descomprimirlas en tiempo y forma. «Nuestros algoritmos están hechos en base a ideas geométricas», aclara Bank, ex rector de la Universidad de Humboldt en Berlín.

  «Hay un mecanismo simple para comprimir, y lo que se necesita es programar un algoritmo para descomprimir, que depende de un parámetro que es la suavidad. Hay que indicarle qué suavidad es la elegida y eso depende de cómo se ha comprimido previamente. Entonces, lo que hay que buscar de manera sistemática es el algoritmo que descomprima con esa misma suavidad. Y esto conduce a cálculos complicados que hemos resuelto aplicando nuestro paquete de software», comenta Bank y compara los resultados de TERA con los obtenidos mediante métodos computacionales en los que la geometría tiene un lugar secundario. Lo innovador del método es su economía en espacio de memoria y su velocidad: Kronecker tarda tan sólo una hora en encontrar un programa que permite reconstruir -descomprimir- a la perfección las imágenes, mientras que los métodos basados en ideas más algebraicas que geométricas pueden superar las veinte horas y no arribar a un resultado.

(*) Centro de Divulgación Científica - FCEyN - UBA.